Аналитическая геометрия

[Мяу]

Пусть некоторая прямая (x=x0+at, y=y0+bt, z=z0+ct) принадлежит этой поверхности. Тогда (x0+at)*(y0+bt)*(z0+ct)=1 для любого действительного t. x0y0z0+(x0y0c+x0z0b+y0z0a)t+(x0bc+y0ac+z0ab)t^2+abct^3≡1 ⇨ x0y0z0=1, x0y0c+x0z0b+y0z0a=0, x0bc+y0ac+z0ab=0, abc=0. Из четвёртого уравнения следует, что либо a, либо b, либо c равно 0. Для определённости положим a=0. Тогда x0bc=0. Но x0≠0, так как x0y0z0=1, значит, либо b=0, либо c=0. Для определённости положим b=0. Тогда x0y0c=0 ⇨ с=0 ⇨ никакая это не прямая. Следовательно, поверхность не линейчатая.

Это очевидно и из картинки: как прямая может лежать только в одном октанте?

Изменено 6 Января, 2013 в 23:20 пользователем Мяу

[serge2011]

Ребята, это не поверхность, и мы не можем её УВИДЕТЬ!

[Гость Ефим]

Пусть некоторая прямая (x=x0+at, y=y0+bt, z=z0+ct) принадлежит этой поверхности. Тогда (x0+at)*(y0+bt)*(z0+ct)=1 для любого действительного t. x0y0z0+(x0y0c+x0z0b+y0z0a)t+(x0bc+y0ac+z0ab)t^2+abct^3≡1 ⇨ x0y0z0=1, x0y0c+x0z0b+y0z0a=0, x0bc+y0ac+z0ab=0, abc=0. Из четвёртого уравнения следует, что либо a, либо b, либо c равно 0. Для определённости положим a=0. Тогда x0bc=0. Но x0≠0, так как x0y0z0=1, значит, либо b=0, либо c=0. Для определённости положим b=0. Тогда x0y0c=0 ⇨ с=0 ⇨ никакая это не прямая. Следовательно, поверхность не линейчатая.

Это очевидно и из картинки: как прямая может лежать только в одном октанте?

Нет, картинка - не доказательство. А вот Ваши выкладки - убеждают. Значит неправ был Киса...

Ребята, это не поверхность, и мы не можем её УВИДЕТЬ!

Ещё одна просьба не флудить.

[Мяу]

Нет, картинка - не доказательство.

Доказательство "по картинке" можно провести и строго: из уравнения поверхности следует, что она не содержит точек с хотя бы одной нулевой координатой, а всякая прямая - содержит (это тоже следует из уравнения).

[Гость Ефим]

Доказательство "по картинке" можно провести и строго: из уравнения поверхности следует, что она не содержит точек с хотя бы одной нулевой координатой, а всякая прямая - содержит (это тоже следует из уравнения).

Я уже побеждён, и веду арьегардные бои только ради принципа: доказательство должно отвечать принципам математической логики, а не изобразительного искусства .

Вы правы - поверхность не линейчатая, и это доказано.