Стационарное уравнение Шредингера

[Будущий химик]

Помогите разобратся в уравнении Hф=Еф. Нужно для отчета, а въехать в него не могу. Гамильтониан что ли равен энергии системы???

[Boets]

Помогите разобратся в уравнении Hф=Еф. Нужно для отчета, а въехать в него не могу. Гамильтониан что ли равен энергии системы???

 

Не совсем так. Оператор H расписывается как p^2/2m + U (пот. энергия). Получается что-то вроде h^2/2m*(d²Ψ/dx²) = (E-U)Ψ

Дифур надо решить.

[Будущий химик]

Гамильтониан равен кинетическая + потенциальная энергия электрона, Е - собственная энергия системы. Если локально рассматривать одноэлектронную МО то она раскидывает свою энергию на (своими словами) движение около атома и на связывающую МО... Или Е это собственная энергия электрона там или там, а гамильтониан это обшая энергия там + там (извиняюсь за каламбурчик)))?

[хома1979]

Проблема в том, что этот диффур решается аналитически только для атома водорода ( и вообще для атомов с 1 электроном).

Диффур для остальных атомов решается приближенно...

[Будущий химик]

С точки зрения простой математики в уравнении равно означает что гамильтониан некоторой функции равен энергии этой функции... Boets, а что такое U в уравнении?

[Boets]

Доучившись до 5-го курса (!) я наконец услышал правильное объяснение УШ. Вольный пересказ:

Гамильтониан - и есть энергия системы. Обычно он выражается через оператор импульса и потенциальную энергию (U) по формулам, очень напоминающими классическую механику. Только всюду стоят операторы. Оператор квадрата импульса, например, есть вторая производная по координате (с каким-то множителем). Последнее утверждение - для одномерного случая, в котором, кстати, много задачек решаются аналитически.

[Gall]

Я тут физик, я попробую

 

Как в классической механике, так и в квантовой, можно записать уравнения движения через энергию. В классической механике это называется "уравнения Гамильтона", а "обобщенная энергия" также носит название "функции Гамильтона". В классической механике это экзотика и математические игры, а в квантовой - основной способ записи.

 

Гамильтониан H в уравнении Шредингера Hψ=Eψ - это операторное выражение для энергии системы. У частицы энергия как правило складывается из двух частей - кинетической и потенциальной. Мы знаем хотя бы из механики, что кинетическая энергия - это p²/2m, где p - импульс (в классической механике p=mv, то есть p²/2m - просто извращенный способ сказать известное со школы mv²/2). В квантовой механике p - это оператор, записываемый через производную по координате и постоянную Планка:

pψ=h∇ψ, где ∇ψ - сумма частных производных по координатам. В операторной форме записывают p=h∇, подразумевая, что когда эту штуку ставят слева от функции, она эту функцию дифференциирует. Кинетическая энергия, стало быть, (h²/2m)∇².

 

Потенциальную энергию обычно обозначают U. Она как-то зависит от координат, а как именно - зависит от задачи. Например, в атоме U - это просто энергия кулоновского притяжения электрона к ядру, U=-q/r (заряд ядра делить на расстояние до него). Для свободной частицы U=0. Для более сложных случаев U может стать очень запутанной функцией; например, в кристалле это сумма взаимодействий со всеми атомами! Тут не то что решить уравнение, даже записать его на бумаге не всегда удается. Впрочем, компьютер справляется.

 

Итого: H = (h²/2m)∇² + U.

Во многих книгах принято обозначать ∇² = Δ. Это вторая производная по координатам.

 

Что же такое Hψ=Eψ ? Это уравнение на собственные значения и собственные функции оператора. Смысл его: найти, когда энергия частицы H становится просто числом E. Это происходит при определенном виде волновой функции ψ, вернее при определенных видах. Каждому из них соответствует свое E - энергетический уровень частицы. А в функции ψ содержится вся информация о движении частицы, оттуда ее можно извлечь соответствующими операторами.

 

Если решить эту задачу для атома, то E даст нам уровни энергии, а ψ - форму орбиталей. Для атома водорода задача решается довольно легко, для более сложных атомов - только численно. Сложные молекулы и кристаллы компьютер может считать неделями.