Математика

[Jarro]

Дан прямоугольник.Его стороны 4см и 5см.Внутри даны 6 точек. Доказать,что между некоторыми точками расстояние меньше,чем 3см.

На рисунке можно же изобразить эти 6 точек и увидеть,что действилеьно такие точки есть. Но как доказать не рисуя?

 

Точки на заданном расстоянии x друг от друга эквивалентны не пересекающимся окружностям радиусами x/2.

Вместите туда 6 окружностей с r=1.5см. Сделать это не получится.

 

1.Увеличим прямоугольник до 4см+1.5*2см на 5+1.5*2см (на диаметр к стороне)

2.Вставить туда можно только 5 окружностей с 1.5см радиусом.

Сейчас идёт плотность упаковки и нужно додумать, как доказать последнее..

Насколько я знаю, проблемы упаковки решаются компьютерами и практически не доказуем лучший способ упаковки, если только бывают случаи доказать это, когда площадь полости не оставляет места новой равной фигуре.

Здесь можно получить отношение полости к занятому месту так: сектор 1/4 от S каждого круга (потому что всегда будут в прямоугольнике) множим на шесть, получаем 7,065/4*6=10,5975 см². Площадь прямоугольника 20 см². Ещё можно понавыдумывать, что минимальный размер полости идёт каждому кругу от π/sqrt(12) (http://en.wikipedia.org/wiki/Circle_packing, доказано как самая плотная упаковка), (1-0,9069)*S_кр*6~4.

Итого 15 см² есть, но до требуемых 20 см² ещё не довёл :(

Изменено 11 Августа, 2012 в 11:29 пользователем Jarro

[KRAB-XIMIK]

Попробую доказать от противного: нельзя вписать шестиугольник, расстояния между точками которого больше или равно 3 см.

Попробуем вписать шестиугольник со стороной 3 см. Периметр тот же, что и у прямоугольника, а площадь больше. Значит его нельзя вписать. Следовательно, можно вписать шестиугольник, в котором две точки находятся на расстоянии, меньшем, чем 3 см

Изменено 11 Августа, 2012 в 11:21 пользователем KRAB-XIMIK

[Jarro]

Попробую доказать от противного: нельзя вписать шестиугольник, расстояния между точками которого больше или равно 3 см.

Попробуем вписать шестиугольник со стороной 3 см. Периметр тот же, что и у прямоугольника, а площадь больше. Значит его нельзя вписать. Следовательно, можно вписать шестиугольник, в котором две точки находятся на расстоянии, меньшем, чем 3 см

Думал-думал, так и не соотнёс :(

Мне кажется, какая-то из окружностей вовсе не обязана даже касаться другой http://upload.wikime...uare_19.svg.png при наибольшем кол-ве кругов.

Ведь ваш гексагон (равносторонний шестиугольник) устанавливает условие лишь в наружной части, как быть с диагоналями?

А как быть, если круг закрывается пятью другими? Вогнутые шестиугольники строить?

Удовлетворяющие условиям их бесконечное количество в данном случае и с огромным отношением одинакового периметра к площади.

Изменено 11 Августа, 2012 в 12:28 пользователем Jarro

[GuffyGuiber]

Как прочитал свой опус, понял, что накосячил. Пойду ещё думать.

Изменено 11 Августа, 2012 в 18:36 пользователем GuffyGuiber

[george123]

Блин.

 

Задача детского сада, но у меня не получается решить.

 

Сколько в пуде лотов? Сколько в нем золотников?

 

1 пуд = 40 фунтам

1 фунт = 32 лотам

1 лот = 3 золотникам

[Леша гальваник]

1280 лотов, золотников - в 3 раза больше.

Изменено 11 Августа, 2012 в 19:02 пользователем Леша гальваник

[aversun]

1 п = 40*32*3 з

Изменено 11 Августа, 2012 в 19:02 пользователем aversun

[george123]

Угу.

Стыдоба.

[GuffyGuiber]

Очевидно, что первая выбранная точка должна совпадать с одной из точек прямоугольника ABCD. Эта точка - центр окружности радиуса 1,5. Внутри прямоугольника лежит только четверть этой окружности. Предположим, что вторая точка лежит где-то в середине прямоугольника (самый неэкономный вариант занятия пространства). Тогда становится абсолютно ясно, что даже если и запихнуть ещё три точки "по углам", и окружности, центрами которых будут являться эти точки, не будут соприкасаться (а это возможно, т.к. диагональ прямоугольника = sqrt(41), а (sqrt(41)-1,5-3-1,5)>0), то шестую окружность запихнуть некуда. Следовательно, вторая точка будет тоже находиться "в углу" (то есть, если первая точка - это т.А, то вторая - т.С). Так как случай с находяшейся в центре окружностью разобран, то третьей и четвертой окружностям выгоднее всего иметь центры в т.В и т.D ( при ином расположении расходуется ещё больше площади, что не идет нам на руку). Докажем, что в получившееся пространство в центре невозможно запихнуть две окружности радиуса 1,5 см. Для этого находим две точки на "соседних окружностях" так, чтобы соединяющая их прямая была параллельна стороне прямоугольника (это будущий диаметр) и равна 3 см. Такая прямая найдется, в центре появляется окружность, центр которой удален от сторон прямоугольника на 2sqrt(2) и на 2,5 см( в случае, если за параллельную прямой сторону бралась большая сторона прямоугольника) . Ещё одну такую же окружность запихнуть в прямоугольник невозможно, ибо (4-2sqrt(2)-1,5-3)<0. Получается, что можно подобрать лишь пять точек, подходящих по условию.

 

Блин.

 

Задача детского сада, но у меня не получается решить.

 

Сколько в пуде лотов? Сколько в нем золотников?

 

1 пуд = 40 фунтам

1 фунт = 32 лотам

1 лот = 3 золотникам

 

Это задача уровня ГИА по математике. Серьезно.

[george123]

Да, правы, что-то есть. ГИА легче

Мне кажется, что это ГИА проверяет учеников на адекватность, а не на знания математики. Написать ниже 5 - unreal.

 

Раз уж на то пошло, то банкуем :

 

Сколько вершков в версте? Сколько в ней дюймов?

 

1 верста = 500 саженям

1 сажень = 7 футам = 48 вершкам

1 фут = 12 дюймам