Математика

[KRAB-XIMIK]

Найдите двугранные углы у:

а) тетраэдра

б) октаэдра

[qerik]

Это табличные значения. Если интересно - можно их вывести через тангенс.

[KRAB-XIMIK]

Это табличные значения. Если интересно - можно их вывести через тангенс.

А вы вычислите угол сами! Я через синус выводил

[Мяу]

Двугранный угол тетраэдра является одним из углов прямоугольного треугольника, состоящего из медианы одной грани тетраэдра (гипотенуза), высоты тетраэдра (противолежащий катет) и отрезка медианы другой грани между центром и серединой стороны (прилежащий катет). Так как последний отрезок составляет одну треть от медианы грани, то искомый угол равен arccos(1/3).

Октаэдр можно разбить на две одинаковые пирамиды. Двугранный угол при основании таких пирамид равен арккосинусу отношения отрезка между центром основания и серединой его стороны к медиане боковой грани, то есть arccos((a/2)/(a*√3/2)) = arccos(1/√3), где a - длина ребра октаэдра. Таким образом, искомый угол равен 2*arccos(1/√3) = arccos(cos(2*arccos(1/√3))) = arccos(2*cos²(arccos(1/√3))-1) = arccos(2/3-1) = arccos(-1/3).

[KRAB-XIMIK]

А теперь для хардкорщиков - вычислите двугранные углы додекаэдра и икосаэдра

[Anozer_MIhalit]

А теперь для хардкорщиков - вычислите двугранные углы додекаэдра и икосаэдра

...в неевклидовой геометрии

[Мяу]

Выбираем в додекаэдре одну из вершин и соединяем друг с другом три соседние с ней. Угол между боковыми гранями получившегося тетраэдра и будет искомым. Опустим из середин двух сторон основания этого тетраэдра перпендикуляры на его боковое ребро, имеющее общую вершину с выбранными сторонами. Длина этих перпендикуляров равна половине стороны основания, помноженной на sin((180°-108°)/2) = sin(36°). Расстояние между началами перпендикуляров равно половине стороны основания (так как эти начала образуют с одной из вершин основания равносторонний треугольник). Таким образом, угол между перпендикулярами (равный искомому) равен 2*arcsin((1/2)/sin(36°)) = arccos(cos(2*arcsin((1/2)/sin(36°)))) = arccos(1-2*sin²(arcsin((1/2)/sin(36°)))) = arccos(1-2*((1/2)/sin(36°))²) = arccos(1-1/(2*sin²(36°)) = arccos(1-1/(1-cos(72°)) = arccos(1-4/(5-√5)) = arccos(-1/√5).

Двугранный угол икосаэдра равен удвоенному арксинусу отношения половины диагонали правильного пятиугольника к медиане равностороннего треугольника с той же стороной, что и пятиугольник (следует из рассмотрения пятиугольной пирамиды, образованной одной из вершин икосаэдра вместе с пятью соседними). Таким образом, искомый угол равен 2*arcsin(cos(36°)/(√3/2)) = arccos(1-2*(cos(36°)/(√3/2))²) = arccos(1-8/3*cos²(36°)) = arccos(1-4/3*(1+cos(72°))) = arccos(-√5/3).

 

Вычислите sin(36°).

[Гость Ефим]

Выбираем в додекаэдре одну из вершин и соединяем друг с другом три соседние с ней. Угол между боковыми гранями получившегося тетраэдра и будет искомым. Опустим из середин двух сторон основания этого тетраэдра перпендикуляры на его боковое ребро, имеющее общую вершину с выбранными сторонами. Длина этих перпендикуляров равна половине стороны основания, помноженной на sin((180°-108°)/2) = sin(36°). Расстояние между началами перпендикуляров равно половине стороны основания (так как эти начала образуют с одной из вершин основания равносторонний треугольник). Таким образом, угол между перпендикулярами (равный искомому) равен 2*arcsin((1/2)/sin(36°)) = arccos(cos(2*arcsin((1/2)/sin(36°)))) = arccos(1-2*sin²(arcsin((1/2)/sin(36°)))) = arccos(1-2*((1/2)/sin(36°))²) = arccos(1-1/(2*sin²(36°)) = arccos(1-1/(1-cos(72°)) = arccos(1-4/(5-√5)) = arccos(-1/√5).

Двугранный угол икосаэдра равен удвоенному арксинусу отношения половины диагонали правильного пятиугольника к медиане равностороннего треугольника с той же стороной, что и пятиугольник (следует из рассмотрения пятиугольной пирамиды, образованной одной из вершин икосаэдра вместе с пятью соседними). Таким образом, искомый угол равен 2*arcsin(cos(36°)/(√3/2)) = arccos(1-2*(cos(36°)/(√3/2))²) = arccos(1-8/3*cos²(36°)) = arccos(1-4/3*(1+cos(72°))) = arccos(-√5/3).

Я в восхищении! :bi: Это просто музыка! Учитесь, химики!

[KRAB-XIMIK]

Выбираем в додекаэдре одну из вершин и соединяем друг с другом три соседние с ней. Угол между боковыми гранями получившегося тетраэдра и будет искомым. Опустим из середин двух сторон основания этого тетраэдра перпендикуляры на его боковое ребро, имеющее общую вершину с выбранными сторонами. Длина этих перпендикуляров равна половине стороны основания, помноженной на sin((180°-108°)/2) = sin(36°). Расстояние между началами перпендикуляров равно половине стороны основания (так как эти начала образуют с одной из вершин основания равносторонний треугольник). Таким образом, угол между перпендикулярами (равный искомому) равен 2*arcsin((1/2)/sin(36°)) = arccos(cos(2*arcsin((1/2)/sin(36°)))) = arccos(1-2*sin²(arcsin((1/2)/sin(36°)))) = arccos(1-2*((1/2)/sin(36°))²) = arccos(1-1/(2*sin²(36°)) = arccos(1-1/(1-cos(72°)) = arccos(1-4/(5-√5)) = arccos(-1/√5).

Двугранный угол икосаэдра равен удвоенному арксинусу отношения половины диагонали правильного пятиугольника к медиане равностороннего треугольника с той же стороной, что и пятиугольник (следует из рассмотрения пятиугольной пирамиды, образованной одной из вершин икосаэдра вместе с пятью соседними). Таким образом, искомый угол равен 2*arcsin(cos(36°)/(√3/2)) = arccos(1-2*(cos(36°)/(√3/2))²) = arccos(1-8/3*cos²(36°)) = arccos(1-4/3*(1+cos(72°))) = arccos(-√5/3).

 

Вычислите sin(36°).

Великолепно!

[KRAB-XIMIK]

Эх, жаль, что больше нет платоновых тел(куб - это слишком просто)...

 

Вся задача сводится к поиску двугранных углов в полученном тетраэдре