Задача на вероятность.

[Малюгин Фёдор]

Оцените вероятность того, что в 1 мм³ классной комнаты будет вакуум при условиях: N=6*10²⁷(число частиц в комнате) , V=240м³ . 

[M_GM]

Это практически 0. Нулевая вероятность события,

что в рассматриваемом мм³ будет абсолютный вакуум,

т.е. полное отсутствие молекул воздуха

Объем комнаты равен  240м³  = 2,4*10¹¹ мм³ . 

В каждом мм³  при равномерном распределении находится  6*10²⁷/ 2,4*10¹¹ = 2,5*10¹⁶ молекул воздуха

Вероятность нахождения одной молекулы  комнатного воздуха

в рассматриваемом мм³  равна отношению объёмов: α = 1/2,4*10¹¹ =  4,17*10^-12. 

Вероятность нахождения этой молекулы  где угодно в комнате, но за пределами

рассматриваемого мм³  равна β = 1-α = (1 -  4,17*10^-12) 

Нетрудно заметить, что β ничтожно мало отличается от 1 (100%), но тем не менее β<1.

Чтобы в рассматриваемом мм³ создался абсолютный вакуум, необходимо,
чтобы его одновременно покинули все 2,5*10¹⁶ молекул воздуха.

Вероятность одновременного совпадения нескольких событий равна
произведению вероятностей каждого из них, т.е.  β(абс.вак.) = β(1)*β(2)*β(3)* ...β(n) = βⁿ,

где n = 2,5*10¹⁶.  Подставляя численные значения имеем

β(абс.вак.) = (1 -  4,17*10^-12)^(2,5*10¹⁶) 

Да, (1 -  4,17*10^-12) число, очень мало отличающееся от 1.

Но показатель степени, в которую оно возводится очень велико.

Столько раз надо перемножить эту почти единицу саму на себя, а мы знаем,
что когда перемножаются числа меньшие единицы, результат становится все меньше и меньше,

стремится к нулю. И в данном случае:

β(абс.вак.) = (1 -  4,17*10^-12)^(2,5*10¹⁶) = 0

Изменено 26 Августа, 2021 в 16:15 пользователем M_GM

[Малюгин Фёдор]

Пусть вероятность того, что одна определенная молекула попадет в определенный объём v=1 mm³ будет α. Тогда α выражается как разность v и μ(μ=240м³) : α=10^-9/240~4*10^-12

Тогда вероятность того, что молекула будет вне объема v буде 1-α.

Значит вероятность отсутствия всех частиц N в объеме v будет ε=(1-α)^N 

Inε=NIn(1-α)

In(1-α)~-α -> Inε=-Nα=-6*10²⁷*4*10^-12=-2.4*10¹⁶

ε=e^{-2.4*10^(16)}=10^{-10^(16)}

Вот такие рассуждения вышли, но правильность их я не могу подтвердить. Был признателен, если бы вы проверили.

2 часа назад, M_GM сказал:

Это практически 0. Нулевая вероятность события,

что в рассматриваемом мм³ будет абсолютный вакуум,

т.е. полное отсутствие молекул воздуха

Объем комнаты равен  240м³  = 2,4*10¹¹ мм³ . 

В каждом мм³  при равномерном распределении находится  6*10²⁷/ 2,4*10¹¹ = 2,5*10¹⁶ молекул воздуха

Вероятность нахождения одной молекулы  комнатного воздуха

в рассматриваемом мм³  равна отношению объёмов: α = 1/2,4*10¹¹ =  4,17*10^-12. 

Вероятность нахождения этой молекулы  где угодно в комнате, но за пределами

рассматриваемого мм³  равна β = 1-α = (1 -  4,17*10^-12) 

Нетрудно заметить, что β ничтожно мало отличается от 1 (100%), но тем не менее β<1.

Чтобы в рассматриваемом мм³ создался абсолютный вакуум, необходимо,
чтобы его одновременно покинули все 2,5*10¹⁶ молекул воздуха.

Вероятность одновременного совпадения нескольких событий равна
произведению вероятностей каждого из них, т.е.  β(абс.вак.) = β(1)*β(2)*β(3)* ...β(n) = βⁿ,

где n = 2,5*10¹⁶.  Подставляя численные значения имеем

β(абс.вак.) = (1 -  4,17*10^-12)^(2,5*10¹⁶) 

Да, (1 -  4,17*10^-12) число, очень мало отличающееся от 1.

Но показатель степени, в которую оно возводится очень велико.

Столько раз надо перемножить эту почти единицу саму на себя, а мы знаем,
что когда перемножаются числа меньшие единицы, результат становится все меньше и меньше,

стремится к нулю. И в данном случае:

β(абс.вак.) = (1 -  4,17*10^-12)^(2,5*10¹⁶) = 0

 

[mirs]

12 часов назад, Малюгин Фёдор сказал:

Вот такие рассуждения вышли, но правильность их я не могу подтвердить.

Эти ваши рассуждения основаны на том, что скорость частиц равна нулю.

А скорость - нулю не равна.

[Малюгин Фёдор]

2 часа назад, mirs сказал:

Эти ваши рассуждения основаны на том, что скорость частиц равна нулю.

А скорость - нулю не равна.

Почему же? Если мы выберем какую то частицу и будем за ней наблюдать в представленном объеме (240 м³), то шанс того, что эта частица попадет в условно помеченный 1 мм³ не очень большая, но раз у нас частиц в комнате очень много, то этот малый шанс α станет весьма весомым и перерастет в практически нулевой шанс образования вакуума в предложенном мм³.

Изменено 27 Августа, 2021 в 08:43 пользователем Малюгин Фёдор

[mirs]

Только что, Малюгин Фёдор сказал:

Почему же?

Что почему? Скорость не равна нулю?  Средняя скорость равна нулю если система стационарна во всех измерениях.

А если с какого-то перепуга появляется некая область пониженного давления, то длина свободного пробега частицы на границе этой области

в направлении на эту область будет выше, чем в направлении наоборот..

Ситуация  вполне реальная. Взяли поместили в эту комнату раскалённую частицу титана, которая будет поглощать и кислород и азот.

Второй закон термодинамики потребует роста энтропии, а как именно  энтропия будет расти описывается в уравнении диффузии.

Это маленькой дополнение вероятность случайного образования вакуума в отдельно взятом объеме уменьшает ещё  и ещё.

Эта задача сложнее чем задача случайного бросания мелких шариков в заданный объем. Система ещё и сопротивляется образованию вакуума.

[Малюгин Фёдор]

3 часа назад, mirs сказал:

Что почему? Скорость не равна нулю?  Средняя скорость равна нулю если система стационарна во всех измерениях.

А если с какого-то перепуга появляется некая область пониженного давления, то длина свободного пробега частицы на границе этой области

в направлении на эту область будет выше, чем в направлении наоборот..

Ситуация  вполне реальная. Взяли поместили в эту комнату раскалённую частицу титана, которая будет поглощать и кислород и азот.

Второй закон термодинамики потребует роста энтропии, а как именно  энтропия будет расти описывается в уравнении диффузии.

Это маленькой дополнение вероятность случайного образования вакуума в отдельно взятом объеме уменьшает ещё  и ещё.

Эта задача сложнее чем задача случайного бросания мелких шариков в заданный объем. Система ещё и сопротивляется образованию вакуума.

Эта задача была приведена в виде примера, просто я хотел более глубоко в ней разобраться. Мне кажется, что автор хотел показать вероятность возможности того, что в следствие разных взаимодействий частиц, этот объем освободился от них полностью, как бы разом все частицы покинули его, пусть и на очень малый промежуток времени, а в вашем примере происходит последовательно уменьшение молекул кислорода и азота вблизи титана и, конечно, система не даст образоваться вакууму вблизи условного титана. Это мое понимание задачи, возможно, автор имел ввиду что то другое.

[mirs]

53 минуты назад, Малюгин Фёдор сказал:

что автор хотел показать вероятность возможности того,

Автор не в теме. Он считает, что это задача похожа на задачу бросания шариков на бумагу в клеточку, только трехмерная. А это не так.

[yatcheh]

8 часов назад, mirs сказал:

Автор не в теме. Он считает, что это задача похожа на задачу бросания шариков на бумагу в клеточку, только трехмерная. А это не так.

 

В задаче не указано время, в течении которого должна существовать эта область вакуума. Без этого задача сводится к чистой комбинаторике - в исходном состоянии N частиц имеют дискретный набор координат (x, y, z) с шагом в δ мм (где δ - доля мм). Надо вычислить вероятность того, что ни одна частица не будет иметь набора, попадающего в выделенную область 1 мм^3, с учётом количества таких областей. В конечном счёте получится формула в виде  отношения произведений факториалов.

Разумеется, никакого, физического смысла это число иметь не будет - математическая эквилибристика в чистом виде.

Учёт времени существования флуктуации придаст задаче физический смысл, но решение станет не таким очевидным - помимо координат, надо учитывать ещё и импульс частиц. Ясно только, что при увеличении заданного временного промежутка, вероятность будет проходить через некоторый максимум. Нахождение этого максимума и времени существования такой флуктуации - задачка не для средних умов  

Автор, видимо, был всё-таки в теме, и учёл этот тонкий момент 

[mirs]

3 часа назад, yatcheh сказал:

Без этого задача сводится к чистой комбинаторике - в исходном состоянии N частиц имеют дискретный набор координат (x, y, z) с шагом в δ мм (где δ - доля

В формате чистой комбинаторики - выше уже посчитали.