Показательная башня

[Никитин]

Колебания в зависимости от того, четное к-во членов, или нет. Как поведет себя в бесконечности

 

[Максим0]

24 минуты назад, Никитин сказал:

Ну так и без скобок

Браво, yatcheh

 

и корень 1.416190182925087

1,416 по мере увеличения башни медленно, но уведёт на бесконечность. Для бесконечной точное решение - квадратный корень из 2, о чём изначально говорил Ячех. Доказывается по индукции при подстановке 2 в показатель.

[Никитин]

5 минут назад, Максим0 сказал:

1,416 по мере увеличения башни медленно, но уведёт на бесконечность.

Решение приближается в пределе к корню квадратному из двух. Для двадцети членов x=1.414258763744215

и x^2=2.00012785082731534

[Хоббит+]

10 часов назад, yatcheh сказал:

 

Вы ухватили корень проблемы. Всё дело в несоответствии формы записи и порядка действий.

 

 

Выражение x^x^x^... должно вычисляться сверху, то есть

a(1) = x

a(2) = x^x

a(3) = x^(x^x)

a(4) = x^(x^(x^x))

...

a(n) = x^a(n-1)

 

При вычислении "снизу" ряд действительно будет расходится:

a(1) = x

a(2) = x^x

a(3) = (x^x)^x

a(4) = ((x*x)^x)^x

...

a(n) = a(n-1)^x

 

Всё упирается в то, чему равно выражение скажем 3^3^3?

3^3^3 = 9^3 = 728

3^3^3 = 3^9 = 19683

 

Если логарифмировать эту башню, то получится: 

ln(x^x^x^...) = ln(x^(x^x^...)) = (x^x^x^...)*ln(x) = a*ln(x) = ln(a)

то есть

ln(x) = 1/a*ln(a)

ln(x) = ln(a^(1/a))

x = a^(1/a)

при x = sqrt(2), очевидно, что a = 2: sqrt(2) = 2^(1/2)

 

Параметры сходимости можно исследовать. По первым прикидкам, при x < 1 наблюдаются интересное поведение - колебания, приводящие в конце концов, при каком-то x к ряду, расходящемуся к нулю и единице. Возможно, это значение как-то связано с минимумом функции y = x^x. Надо ещё посмотреть, погонять этот ряд.

 

 

 

Вы где то скопировали текст без понимания!  Логарифмирование, например, неверно.

[Paul_S]

1 час назад, yatcheh сказал:

Всё упирается в то, чему равно выражение скажем 3^3^3?

3^3^3 = 9^3 = 728

3^3^3 = 3^9 = 19683

Чтобы хоть как–то представить себе, о насколько циклопически больших числах пишет Хармс, достаточно сказать, что уже в восьмой строчке статьи речь идёт о числе, которе Хармс обозначает как hh3 и которое представляет собой 7 625 597 484 987 (т. е. 3^(3^3)=3^27), возведённое в степень 7 625 597 484 987, которое тоже возведено в степень 7 625 597 484 987, которое тоже возведено в степень 7 625 597 484 987, которое тоже возведено в степень 7 625 597 484 987, и так далее 7 625 597 484 987 раз.

https://math.d3.ru/daniil-kharms-podniatie-chisla-1078198/?sorting=rating

[Paul_S]

5 часов назад, dmr сказал:

Тут видимо, калькулятор по разному ставит скобки

(1,4^1,4)^1,4

1,4^(1,4^1,4)

Суть разногласия в этом, как я думаю. Надо сначала позавтракать, потом подумаю

Выше, картинка, как мой калькулятор считает, видимо начиная скобки сверху ставить 

Если ставить скобки сверху, то функция все равно будет только расти. Например

1,4^1,4^(1,4^(1,4^1,4)) =

1,4^1,4 = 1,6016928982022121918301032833716
1,4^1,6016928982022121918301032833716 = 1,7141634748253876896815185418846
1,4^1,7141634748253876896815185418846 = 1,7802760175269709553917873380937
1,4^1,7802760175269709553917873380937 = 1,8203220817394138967439663890022

 

Нет никакой причины, чтобы у этой функции был предел. Предел бывает у функций, у которых какая-то часть тянет к бесконечности, а другая к нулю. На первом курсе заставляют дофига этих пределов считать. В этой функции нет ничего такого ограничивающего.

 

PS. Хотя нет, посчитав еще значений, обнаружил явное асимптотическое приближение к чему-то.

1,8450158019785649799953149033126
1,860409441787260260744545615564
1,8700704910587710400412093379727
1,876159373310435107447383520941
1,8800070758703799098195838335078
1,8824425940187919894210842483803
1,8839858583089156822298111648095
1,8849644013721570689039059014949
1,8855851329346710080701067488676

 

Да тут и более сведущие в математике люди это вроде как смоделировали. Вопрос, однако, такой - как можно ставить скобки "сверху", т.е. с конца, если число членов ряда бесконечно? 

Изменено 1 Августа, 2020 в 12:17 пользователем Paul_S

[yatcheh]

2 часа назад, Хоббит+ сказал:

Вы где то скопировали текст без понимания!  Логарифмирование, например, неверно.

 

Хоббит, не позорься.

 

1 час назад, Paul_S сказал:

Если ставить скобки сверху, то функция все равно будет только расти. Например

1,4^1,4^(1,4^(1,4^1,4)) =

1,4^1,4 = 1,6016928982022121918301032833716
1,4^1,6016928982022121918301032833716 = 1,7141634748253876896815185418846
1,4^1,7141634748253876896815185418846 = 1,7802760175269709553917873380937
1,4^1,7802760175269709553917873380937 = 1,8203220817394138967439663890022

 

Нет никакой причины, чтобы у этой функции был предел. Предел бывает у функций, у которых какая-то часть тянет к бесконечности, а другая к нулю. На первом курсе заставляют дофига этих пределов считать. В этой функции нет ничего такого ограничивающего.

 

Если вы продолжите ваш ряд, то он сойдётся к 1,88666330624633. В формате "extended" это число уже не меняется.

 

2 часа назад, Никитин сказал:

Решение приближается в пределе к корню квадратному из двух. Для двадцети членов x=1.414258763744215

и x^2=2.00012785082731534

 

Я нашёл предел сходимости при x > 1. Если представить x = y^1/y, то пределом будет y = e (x = 1,44466786100977). Если x больше этого числа, то ряд расходится, при равенстве - сходится к е.

При 1 < y < e ряд сходится к y

При e < y ряд сходится числу, меньше e

При очень больших y предел ряда стремится к 1.

 

Попробую погонять при x < 1. 

Изменено 1 Августа, 2020 в 13:54 пользователем yatcheh

[yatcheh]

27 минут назад, Paul_S сказал:

Вопрос, однако, такой - как можно ставить скобки "сверху", т.е. с конца, если число членов ряда бесконечно? 

 

Вы же можете вычислить "сверху" любой член ряда. Дальше смотрим только - куда нас ведёт дорога

Башня потому и кажется угрожающей, поскольку интуитивно начинаешь строить её "снизу вверх".

Изменено 1 Августа, 2020 в 12:23 пользователем yatcheh

[yatcheh]

При x < 1 численно стало трудно решать. Вроде осцилляции затухают, и предел a чуть больше x. При x < 0.1 начинается расщепление ряда, и он вырождается в ряд 0,1,0,1,0,1...

Точки бифуркации тут аналитически надо искать.

[Хоббит+]

Ячех, вы много пишете, сложно скопировать!